ryu.です。
今回は数学編ということで、頻出テーマの確率漸化式について書いて行こうと思います。確率漸化式は苦手とする人が多いとは思いますが、実は慣れてしまえば解法のバリエーションが乏しいので比較的得点源にしやすい分野です。問題演習多めで行くので、その中で雰囲気をつかんで行って欲しいです。
基礎問題１
さて、今回は先述の通り問題の割合多めでやっていこうと思う。そして、今回のテーマ上、基礎的な確率および基本的な漸化式についてはある程度知っている前提として話を進めさせてもらうが、もちろん丁寧に説明をしていこうと思っているのでご安心を。
まず確率漸化式の問題を解く流れとしては、
1. 状態の推移の仕方を実験し、図として表す
2. 適当な連続した２段階（n回目とn+1回目など）を取り出してその関係性から漸化式を立てる
3. 漸化式を解く
が基本的だと思う。どの段階も一つ一つ丁寧にやっていくことで比較的容易に捌いていくことができるはずだ。以上を確認した上で問題に移っていこう。
１辺の長さが１の正四面体のうち、一つの面だけを赤く塗り、残り三面を白く塗る。
初めに赤い面を底にして（見えないように）地面に置き、１秒毎に正四面体を１段階だけ無作為に回転させて現在の面と異なる面が底にくるようにする。この操作を繰り返していくとき、n秒後に赤い面が底に来ている確率をnを用いて表せ。
まずは流れに倣って状況を整理していこう。
基本的にここで現れる状況のパターンとしては赤が底にきている時とそれが白の時との２パターンしかない。この二つでやりとりが行われると考えよう。ではここから遷移の仕方を考えていく。具体的にいうと、次に状態が変化した時（ここでは正四面体が回転した時）にどの確率でどの状況の変化を行うのかを一つ一つ丁寧に整理していくことになる。
すると右の図１のように書くことができる。仮に今n秒目だとしてそこから１秒進んだ時にどの確率でどう状況が変わるのか視覚的にイメージしていこう。
まずは底面が赤の時（左側のR）。この時は側面は白のみなので確実に１秒進んだところで底面は白にしかならない。すなわち、１秒後にRとなる確率は０、W（底面が白）となる確率は１である。
続いて、底面が白の時。この時は側面３面のうち赤１面、白２面なので、無作為に選ばれる条件下から確率はそれぞれRとなるのが、Wとなるのが[tex:\cfrac{2}{3}]となる。以上のことが図1によって表されている。この図は実際に諸問題を解いていく中でも書いていくと良いであろう。自分も東大模試なんかでの答案には図をきっちり書いていた。
すると、ここから漸化式が立てられる。n秒後に底面が赤となる確率を、底面が白となる確率を
とおいておくと、(n+1)秒後の確率はn秒後の確率を用いて漸化式的に
のように表せる。後はここから連立して解いていくのだが、それよりはもう少し楽なやり方がある。ここまで二式立てておいてあれだが、n秒後に赤か白以外になることが無いためという関係式を使って簡略化することができる。つまり一つ目の式にこれを代入して
を消去すると、
とできる。後はこれでについての漸化式となったためこれを解いていけばおしまいである。なお、最初の状態で赤が底に来ているので１秒後の確率は
である。
まず、特性方程式を考えて変形をすると（解答に書く時は「これを変形して、」くらいで良い）、
すなわち数列{}が初項
、公比が
の等比数列となるので、
したがって、
となる。一応確認しておくと、のとききちんと確率０となっていることがわかるであろう。これが簡単な確率漸化式の問題だ。
基礎問題２
AとBの２人が、1個のサイコロを次の手順により投げ合う。
1回目はAが投げる。
１、２、３の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
４、５の目が出たら、次の回には違う人が投げる。
６の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。
(1)回目にAがサイコロを投げる確率
を求めよ。
(2) ちょうどを求めよ。
(3)を求めよ。
続いてはこの問題。一橋大学の問題だが、臆することは全くない。
それでは考えていこう。まず、nに応じて変化するものは投げる人であるので、誰が回目に投げるかに応じて場合わけをする。すなわちここではAおよびBが投げる確率をそれぞれ
としておくのが妥当であろう。
すると、今度は投げる人の遷移を考える。誰がサイコロを投げるかに問わず投げる人がそのままor入れ替わる確率はそれぞれとおくことができる。（サイコロの面について問う確率であることを確認していないがここはそういうことにしておくのが「妥当」であろう。あくまで問題文は一橋大の原文のままだ。）そうすると遷移図は右の図４のように書くことができる。したがって立てられる漸化式は以下のようになる。
あとはこれを解いていくのだが、ここでもひと工夫が考えられる。この２つの漸化式は対称式のように考えることができるので、の二つを考えてみると、漸化式の和と差を取って
と考えられる。こうすればその二つが等比数列として表されるからあとは容易であろう。まず数列{}について、公比
、初項1であるから、
同じようにして、数列{}について、公比
、初項1であるから、
という二つが導ける。あとは求めるのはの方なので、二つを足して2で割れば終了である。
となる。以上だ。そしてこの問題は(1)ができればほぼ終了といった感じである。
(2)についてだが、初見で見た時には疑心暗鬼になるかもしれないが、その通りシンプルである。今回、Aが勝つためには自分のターンでサイコロを投げている必要があるので、(1)で求めた確率にをかければ良いだけ（６の目が出る）だ。そのため詳しい解説は省かせてもらうが悪しからず。答えは
となる。
最後に(3)。これも回目までに、と言っているので
回目までの話を取っていけば良いだけだ。単純な等比数列の和なので特に困ることもなかろう。自分はここをこのページに書くのに困ったが（笑）。答えは
である。
基礎問題３
それでは最後にもう一問触れて行こう。名古屋大学文系からの出題である。
右の図２のような立方体がある。この立方体の８つの頂点の上を点Pが次の規則で移動する。時刻0では点Pは頂点Aにいる。時刻が１増えるごとに点Pは、今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する。例えば時刻nで点Pが頂点Hにいるとすると、時刻n+1では、それぞれ
の確率で頂点D、E、Gのいずれかにいる。自然数n≥1に対して、(ⅰ)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに戻らず、かつ時刻nで頂点B、D、Eのいずれかにいる確率を
とする。この時、次の問いに答えよ。
(1)、
、
と
、
、
を求めよ。
(2)のとき、
(3) 自然数に対して、点Pが時刻
で頂点Aに初めて戻る確率
を求めよ。
まずは、状態の遷移の仕方を実験を通して整理しておこう。その中で(1)を回答していけたら良いと思う。今回は秒時点でどの頂点にいたかと、そこから１秒進んだ時にどう移動するかを考える。
対称的（対等）なまとまりとしては、問題文にもある通りB、D、Eのいずれか、C、F、Hのいずれか、Gの三パターン（以下、パターンP、Q、Rとおく）に分けることができる。というのも、この遷移を考える上では対称軸AGからも言える通り、この三点の組み合わせ2つは位置的に対等であるからだ。この図３を見て貰えば納得できるであろうか。
そうしたら、ここから１秒進んだ時にどのパターンを動くか考えるとパターンPのときは次に確率でパターンQへ移動する。ここで注意だが、残り
の確率でAへと移動することもあるということは意識しておこう。つまり、ここでは全事象の確率がこの３つのパターンに収まっているのではないので、さっきの「足して１」は使うことはできない、ということになる。
続いてパターンQのときだが、このときは確率でPへ行き、確率
でRへ行く。また、パターンRのときは必ずQへ戻ってくる。以上のことを整理して漸化式をそれぞれ立てると下のようになる。
あとはこれを解いて行こう。今回は先の問題での「足して１」が使えないので地道に一個ずつ求めていくしかないのだが、まずはどれか一つに対する漸化式にするため以外を消去する。すると、三項間漸化式まがいの漸化式が出てくることだろう。
すると、一つまたぎの項同士が関わっているので、奇数項（）と偶数項（
）で考える数列が違ってくることが改めてわかるであろう。するといずれもの初項が必要となるので、すなわち
を利用するから、偶奇を分けて考える。この時にしっかりと自分がどの操作を何回行ったかなどミスしないように最新の注意を払って行こう。問題によって様々に注意するべき点はある。そうすると、
１、奇数のとき
漸化式からいえばこれが等比数列と考えられるから、とおくと①より、
となる。
２、偶数のとき
とおくと、上と同じように、
となる。
これでについては求めることができたので、あとはもう二つに関しての漸化式に代入すれば良いことになる。すなわち、
に代入していけば良い。ここで、こちらのnが偶数の場合には楽勝になるのだが、逆に奇数の場合だと少しややこしい。上の２、の場合でおいたmを用いてと定義しておくと、上のmでできた式にこれを変形したもの（
）を改めて代入することとなる。したがって、
となることから、以上を合わせて
と表すことができよう。
では最後に(3)を解いていく。初めてAに戻ってくる時にはその1回前にパターンPの状態になりそこから確率をかければ良いことになる。今回、Aにたどり着くのはnが偶数のときなので、
が上の式から求められる。ただし注意として、今回の式で適応可能なのは、 (2)のnの条件からのとき。すなわち
のときは別でチェックする必要がある。このときは
であることが明白であろう。
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